Correcteur à Avance de Phase (AP)

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un correcteur à avance de phase peut s'exprimer sous plusieurs formes :

$$C_{av}(s)=K\left(\frac{1+Ts}{1+aTs}\right)$$

où $K>0$ correspond au gain, $T$ est le temps caractéristique du correcteur, et $0<a<1$ est un paramètre de liberté.

Expression des pôles et zéros

La fonction de transfert possède :

• un zéro en $s=-\frac{1}{T}$,
• un pôle en $s=-\frac{1}{aT}$.

Analyse harmonique

La réponse harmonique s'exprime sous la forme :

$$C_{av}(j\omega )=K\left(\frac{1+jT\omega }{1+jaT\omega }\right)$$

• Gain :

$$|G_{av}(j\omega ){|}_{dB}=20{\log }_{10}(K)+10{\log }_{10}(1+T^2{\omega }^2)-10{\log }_{10}(1+a^2{T}^2{\omega }^2)$$

• Argument / Phase ($K>0$):

$$\arg [G_{av}(j\omega )]=\arctan \left(T\omega \right)-\arctan \left(aT\omega \right)$$

Maximisation de l'apport de phase

Il est possible de démontrer que la phase présente un maximum

$$\underset{\omega }{max}\arg [G_{av}(j\omega )]$$

à la pulsation

$${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$$

A cette pulsation, le gain et la phase sont respectivement donnés par :

• Gain :

$$|G_{av}(j{\omega }_m)|=\frac{K}{\sqrt{a}}$$

• Phase (en radian):

$${\mathbf{\Phi }}_m=\arg [G_{av}(j{\omega }_m)]=\text{asin}\left(\frac{1-a}{1+a}\right)$$

Illustration

Gain du correcteur AP.

Phase du correcteur AP.

Le correcteur AP permet d'ajouter de la phase, surtout aux moyennes fréquences. Il permet de gagner en stabilité. Le correcteur AP permet de s'affranchir des dilemmes stabilité / rapidité

Technique de réglage

Pour régler les 3 paramètres du correcteur, une technique possible consiste à imposer:

• la marge de phase $M_{\phi }$ souhaitée,
• la pulsation de coupure à $0$dB, ${\omega }_c$ souhaitée.
• un incrément de phase maximum à la pulsation de coupure à $0$ dB.

Réglage de l'apport de phase (paramètres $a$ et $T$)

• On impose ${\omega }_m={\omega }_c$ rad/s où ${\omega }_c$ correspond à la pulsation de coupure à $0$dB souhaitée.
• On mesure ${\phi }_m=\arg [G(j{\omega }_m)]$ la phase mesurée à la pulsation ${\omega }_m$.
• On calcule l'incrément de phase nécessaire ${\mathbf{\Phi }}_m$ permettant d'atteindre la marge de phase souhaitée c-à-d $-180+M_{\phi }={\phi }_m+{\mathbf{\Phi }}_m$. Nous obtenons :

$${\mathbf{\Phi }}_m=M_{\phi }-180-{\phi }_m$$

• On fixe le paramètre $a$ de manière à fixer l'incrément de phase souhaité :

$$a=\frac{1-\sin ({\mathbf{\Phi }}_m)}{1+\sin ({\mathbf{\Phi }}_m)}$$

où ${\mathbf{\Phi }}_m$ s'exprime en radian.

• On fixe le paramètre $T$ pour obtenir l'incrément de phase souhaitée à la pulsation ${\omega }_m$:

$$T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}$$

Réglage du gain (paramètre $K$)

• On trace le lieu en boucle ouverte du système corrigé $H_{bo1}=C_{av1}(s)G(s)$ où $C_{av1}(s)$ désigne la fonction de transfert du correcteur par avance de phase lorsque $K=1$,
• On évalue le gain en dB à la pulsation ${\omega }_m$, c-à-d $G_{dB}=|H_{bo1}(j{\omega }_m){|}_{dB}$.
• On fixe le paramètre $K$ avec $K={10}^{-G_{dB}/20}$ pour obtenir un gain de $0$ dB à la pulsation ${\omega }_m$.

Exemple de réglage

Les figures suivantes montrent comment régler un correcteur par avance de phase pour obtenir une pulsation de coupure à $0$ dB égale à ${\omega }_c=30$ rad/s et une marge de phase $M_{\phi }=60$ deg.

Lieu de transfert en boucle ouverte.

Lieu de transfert corrigé en boucle ouverte avec K=1.

Lieu de transfert corrigé en boucle ouverte.

La figure suivante présente l'allure de la réponse indicielle en boucle fermée après correction du système.

Réponse indicielle en boucle fermée.