Réponse Indicielle d'un Système de Premier Ordre

Objectif

Considérons un système de premier ordre régit par l'équation différentielle suivante pour :

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Ku(t)$$

où :

• $\tau$ est la constante de temps du système,
• $K$ est le gain du système,
• $y(t)$ est la sortie du système,
• $u(t)$ est l'entrée du système.

Dans ce tutorial, nous montrons comment calculer la réponse indicielle d'un système de premier ordre avec 3 techniques différentes.

1. Approche Directe basée sur l'équation différentielle

Équation sans second membre

Pour résoudre cette équation différentielle de manière analytique, nous devons d'abord résoudre l'équation homogène (sans second membre) :

$$\tau \frac{d{y}_h(t)}{dt}+y_h(t)=0$$

Il est possible de vérifier que la solution de cette équation homogène est :

$$y_h(t)=A{e}^{-t/\tau }$$

Solution particulière

Pour une entrée échelon unitaire $u(t)=1$, nous cherchons une solution particulière constante de type $y_p(t)=y_p$. En substituant $y_p$ dans l'équation différentielle, nous obtenons :

$$y_p=K$$

Solution générale

La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :

$$y(t)=y_h(t)+y_p=A{e}^{-t/\tau }+K$$

En appliquant la condition initiale $y(0)=0$, nous trouvons $A$ :

$$y(0)=A+K=0\Rightarrow A=-K$$

Donc, la solution est :

$$y(t)=K(1-e^{-t/\tau })$$

2. Approche par la Convolution

Réponse impulsionnelle

Pour obtenir la réponse impulsionnelle, il faut également utiliser l'approche directe. Lorsque l'entrée est une impulsion, la solution générale s'exprime sous la forme :

$$h(t)=A{e}^{-t/\tau }$$

L'obtention du coefficient $A$ est plus technique est nécessite d'intégrer l'équation différentielle au voisinage de 0. Après quelques calculs, nous obtenons :

$$h(t)=\frac{K}{\tau }{e}^{-t/\tau }$$

Démonstration

En intégrant l'équation différentielle autour de $t=0$ sur un intervalle infinitésimal $[-ϵ,ϵ]$ et en prenant la limite $ϵ\to 0$, nous obtenons :

$${\int }_{-ϵ}^{ϵ}(\tau \frac{dh(t)}{dt}+h(t))dt={\int }_{-ϵ}^{ϵ}K\delta (t)dt$$

En utilisant la définition du Dirac, nous obtenons :

$$\tau {[h(t)]}_{-ϵ}^{ϵ}+{\int }_{-ϵ}^{ϵ}h(t)dt=K$$

Comme $h(t)$ est continue partout sauf en $t=0$ et en supposant que $h(t)$ est bornée, l'intégrale de $h(t)$ sur un intervalle infinitésimal est négligeable et donc $\tau (h(ϵ)-h(-ϵ))=K$. En prenant la limite $ϵ\to 0$, et sachant que $h(-ϵ)=0$ pour $t<0$ (puisque le système est causal et ne peut pas répondre avant l'application de l'impulsion), nous obtenons finalement $\tau h(0^{+})=K$, ce qui implique que :

$$h(0^{+})=\frac{K}{\tau }$$

La réponse impulsionnelle $h(t)$ d'un système de premier ordre est donnée par :

$$h(t)=\frac{K}{\tau }{e}^{-t/\tau }$$

Produit de convolution

La sortie $y(t)$ pour une entrée échelon unitaire $u(t)$ est donnée par le produit de convolution :

$$y(t)=(u\ast h)(t)={\int }_0^{t}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

En substituant $u(\tau )=1$ et $h(t-\tau )=\frac{K}{\tau }{e}^{-(t-\tau )/\tau }$, nous obtenons :

$$\begin{array}{rl}y(t)& ={\int }_0^t\frac{K}{\tau }{e}^{-(t-\tau )/\tau }d\tau \\ & =\frac{K}{\tau }{e}^{-t/\tau }{\int }_0^t{e}^{\tau /\tau }d\tau \\ & =\frac{K}{\tau }{e}^{-t/\tau }{\left[e^{\tau /\tau }\right]}_0^t\\ & =\frac{K}{\tau }{e}^{-t/\tau }(e^{t/\tau }-1)\\ & =K(1-e^{-t/\tau })\end{array}$$

3. Approche par la Transformée de Laplace

Transformée de Laplace

En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, nous obtenons :

$$\tau sY(s)+Y(s)=K\frac{1}{s}$$

En factorisant $Y(s)$, il en vient que :

$$Y(s)(\tau s+1)=\frac{K}{s}$$

Finalement,

$$Y(s)=\frac{K}{s(\tau s+1)}$$

Transformation inverse

Pour trouver $y(t)$, nous devons appliquer la transformée de Laplace inverse à $Y(s)$. En décomposant la fraction, nous obtenons :

$$Y(s)=\frac{K}{\tau }(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau })$$

En appliquant la transformée de Laplace inverse à chaque membre, nous obtenons :

$$y(t)=K(1-e^{-t/\tau })$$