Analyse des SLIT via la Transformée de Laplace

Cette section introduit la transformée de Laplace comme outil central pour simplifier l’analyse des SLIT. Après la définition et les principales propriétés (linéarité, dérivation, intégration, décalage, convolution, théorèmes des valeurs initiale et finale), on applique cet outil à l’obtention de la fonction de transfert. Celle-ci est étudiée sous formes polynomiale et factorisée (pôles et zéros). On établit les liens entre fonction de transfert et réponse impulsionnelle, et on montre comment calculer la réponse temporelle à une entrée donnée. Enfin, on analyse la stabilité (via les pôles), la réponse fréquentielle et les représentations graphiques (Bode, Nyquist, Black-Nichols). Le chapitre se termine par l’étude de l’interconnexion des systèmes (série, parallèle, rétroaction).

Transformée de Laplace

La transformée de Laplace est un outil mathématique fondamental dans le domaine de l'automatique, offrant une méthode puissante pour analyser et concevoir des systèmes dynamiques. Introduite par le mathématicien Pierre-Simon Laplace, cette transformée est particulièrement efficace pour traiter les équations différentielles linéaires et les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).

Définition

La transformée de Laplace est définie comme une transformation intégrale qui convertit une fonction temporelle $f(t)$ en une fonction de la variable complexe $s$. Mathématiquement, elle est exprimée par :

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$

où $s$ est une variable complexe $s=\sigma +j\omega$, avec $\sigma$ représentant la partie réelle et $\omega$ la partie imaginaire.

Cette transformation permet de simplifier l'analyse des systèmes en transformant des équations différentielles complexes en des équations algébriques plus simples à manipuler. En particulier, elle est utile pour résoudre des problèmes d'équations différentielles linéaires avec des conditions initiales.

La transformée de Laplace est un outil essentiel en mathématiques et en ingénierie, notamment pour l'analyse des systèmes linéaires et le traitement des signaux. Voici les principales propriétés de la transformée de Laplace :

Exemple

A titre d'exemple, nous allons déterminer la transformée de Laplace de la fonction échelon unitaire $u(t)$. Pour $t\ge 0$, $u(t)=1$, la transformée de Laplace est donc égale à :

$$U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}dt$$

L'intégrale de $e^{-st}$ est :

$$\int e^{-st}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}$$

Nous évaluons cette expression aux bornes de $0$ à $\mathrm{\infty }$ :

$${[-\frac{1}{s}{e}^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}=(-\frac{1}{s}{e}^{-s\cdot \mathrm{\infty }})-(-\frac{1}{s}{e}^{-s\cdot 0})$$

• Lorsque $t\to \mathrm{\infty }$, $e^{-st}\to 0$ si $s>0$.
• Lorsque $t=0$, $e^{-st}=e^0=1$.

Pour $s>0$, l'intégrale converge et est égale à :

$$\mathcal{L}\{u(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}dt=\frac{1}{s}$$

Propriétés

La transformée de Laplace possède plusieurs propriétés. Ces propriétés permettent de simplifier l'analyse des systèmes linéaires et invariants dans le temps.

1. Linéarité

La transformée de Laplace est une opération linéaire :

$$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}$$

où $a$ et $b$ sont des constantes, et $f(t)$ et $g(t)$ sont des fonctions de $t$.

Démonstration

Pour démontrer cette propriété, nous devons appliquer la définition de la transformée de Laplace à la fonction $af(t)+bg(t)$.

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(af(t)+bg(t))e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}af(t)e^{-st}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}bg(t)e^{-st}dt\\ & =a{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt+b{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-st}dt\\ & =a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}\end{array}$$

2. Dérivation

La transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction est donnée par :

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$$

où $F(s)$ est la transformée de Laplace de $f(t)$ et $f^{(n)}(0)$ représente la $n$-ième dérivée de $f(t)$ évaluée à $t=0$.

Lorsque toutes les conditions initiales sont nulles, $f^{(n)}(0)=0$ et donc

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}F(s)$$

Démonstration

Nous allons démontrer ici la propriété pour $n=1$. La démonstration pour les autres valeurs de $n$ s'obtient par induction.

La transformée de Laplace de $f^{\prime }(t)$ est définie par :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt$$

En utilisant l'intégration par parties, avec $u=e^{-st}$ et $dv=f^{\prime }(t)dt$, nous avons :

$$du=-s{e}^{-st}dt\text{et}v=f(t)$$

Ainsi, l'intégration par parties donne :

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt={[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$

Évaluons le premier terme ${[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}$:

• À $t\to \mathrm{\infty }$, si $f(t)$ ne croît pas plus vite qu'une exponentielle, $f(t)e^{-st}\to 0$.
• À $t=0$, $f(0)e^{-s\cdot 0}=f(0)$.

Donc :

$${[f(t)e^{-st}]}_0^{\mathrm{\infty }}=0-f(0)=-f(0)$$

Ainsi, nous avons :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=-f(0)+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt=-f(0)+s\mathcal{L}\{f(t)\}$$

Donc :

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$$

3. Intégration

La transformée de Laplace de l'intégrale d'une fonction est donnée par :

$$\mathcal{L}\{{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \}=\frac{F(s)}{s}$$

4. Théorème du décalage dans le temps

Si une fonction $f(t)$ est décalée dans le temps de $t_0$ unités, la transformée de Laplace est modifiée comme suit :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}F(s)$$

où $u(t)$ est la fonction échelon.

Démonstration

Nous voulons trouver la transformée de Laplace de $f(t-t_0)u(t-t_0)$ où $u(t)$ est la fonction échelon unitaire. La fonction $f(t-t_0)u(t-t_0)$ est donc nulle pour $t<t_0$ et égale à $f(t-t_0)$ pour $t\ge t_0$. Nous calculons la transformée de Laplace de $f(t-t_0)u(t-t_0)$ en utilisant la définition :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t-t_0)u(t-t_0)e^{-st}dt$$

Comme $f(t-t_0)u(t-t_0)$ est nul pour $t<t_0$, nous pouvons changer les bornes d'intégration de $0$ à $t_0$ en $t_0$ à $\mathrm{\infty }$:

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}f(t-t_0)e^{-st}dt$$

Pour simplifier cette intégrale, nous faisons un changement de variable. Posons $\tau =t-t_0$. Alors $dt=d\tau$ et lorsque $t$ varie de $t_0$ à $\mathrm{\infty }$, $\tau$ varie de $0$ à $\mathrm{\infty }$. L'intégrale devient :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s(\tau +t_0)}d\tau$$

Nous pouvons séparer le facteur exponentiel en deux termes :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }{e}^{-s{t}_0}d\tau$$

Comme $e^{-s{t}_0}$ est indépendant de $\tau$, nous pouvons le sortir de l'intégrale :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }d\tau$$

L'intégrale ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }d\tau$ est la définition de la transformée de Laplace de $f(t)$, que nous avons notée $F(s)$. Donc :

$$\mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}=e^{-s{t}_0}F(s)$$

5. Multiplication par une exponentielle

La multiplication d'une fonction par une exponentielle se traduit par un décalage dans le domaine de la transformée de Laplace :

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$$

6. Théorème de convolution

La transformée de Laplace de la convolution de deux fonctions est le produit des transformées de Laplace de ces fonctions :

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)(t)\}=F(s)G(s)$$

où $(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$.

7. Valeur initiale et valeur finale

Théorème de la valeur initiale :

$$f(0^{+})=\underset{t\to 0^{+}}{lim}f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)$$

Théorème de la valeur finale :

$$f(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)$$

Analyse des SLIT

Hypothèses

Considérons un SLIT d'ordre $N$ modélisé par une équation différentielle linéaire à coefficients constants

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_n\frac{d^{n}x(t)}{d{t}^n}+\cdots +b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

Conditions Initiales Nulles

Considérons également que les conditions initiales sont nulles c-à-d:

• l'entrée et la sortie sont initialement nulles en $t=0$ :

$$x(0)=y(0)=0$$

• les dérivées $n$ieme de l'entrée et de la sortie sont nulles en $t=0$ pour tout $n<N$,

$$x^{(n)}(0)=y^{(n)}(0)=0$$

Fonction de transfert

La fonction de transfert d'un Système Linéaire Invariant dans le Temps (SLIT) est une représentation fondamentale qui relie la sortie du système à son entrée dans le domaine de Laplace. Elle est définie comme le rapport de la transformée de Laplace de la sortie à la transformée de Laplace de l'entrée, en supposant des conditions initiales nulles.

En appliquant la transformée de Laplace aux deux côtés de l'équation différentielle et en utilisant les propriétés de linéarité et de différentiation de la transformée de Laplace, nous obtenons :

$$a_n{s}^{n}Y(s)+\cdots +a_{1}sY(s)+a_{0}Y(s)=b_m{s}^{m}X(s)+\cdots +b_{1}sX(s)+b_{0}X(s)$$

et après factorisation :

$$(a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0)Y(s)=(b_m{s}^m+\cdots +b_{1}s+b_0)X(s)$$

La fonction de transfert $H(s)$ est alors définie comme le rapport de $Y(s)$ à $X(s)$:

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_m{s}^m+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0}$$

Cette fonction de transfert caractérise complètement le comportement du SLIT dans le domaine de Laplace. L'expression sous la forme d'un ratio de deux polynômes correspond à la représentation sous forme polynomiale de la fonction de transfert.

Forme Factorisée

En déterminant les racines des polynômes au numérateur et au dénominateur, nous pouvons obtenir une représentation sous forme factorisée de la fonction de transfert :

$$H(s)=\frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}$$

où :

• $z_1,z_2,\dots ,z_n$ sont les zéros du système,
• $p_1,p_2,\dots ,p_n$ sont les pôles du système,
• $K$ est un facteur de gain.

Représentation

Graphiquement, il est courant de représenter les pôles et les zéros dans le plan complexe via la représentation des pôles et zéros. La représentation des pôles et zéros sur le plan complexe permet d’analyser rapidement le comportement d’un système dynamique. Les pôles sont représentés par des croix $\times$ . Les zéros sont représentés par des cercles $\circ$ et indiquent les fréquences où la réponse du système est annulée ($H(s)=0$).

Représentation des pôles et zéros d'un système d'ordre 4

Lien avec la Réponse Impulsionnelle

La réponse impulsionnelle $h(t)$ d'un système est la réponse du système à une entrée impulsionnelle $\delta (t)$. La transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle est égale à :

$$\mathcal{L}\{h(t)\}=Y(s)=H(s)X(s)=H(s)\mathcal{L}\{\delta (t)\}=H(s)$$

La fonction de transfert correspond donc à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle.

Réponse temporelle à une entrée quelconque

Pour déterminer la réponse temporelle du système à une entrée quelconque $x(t)$, nous allons utiliser la stratégie suivante :

1. Obtention de la fonction de transfert du système $H(s)$
2. Détermination de la transformée de Laplace de l'entrée: $X(s)=\mathcal{L}[x(t)]$
3. Détermination de la transformée de Laplace de la sortie: $Y(s)=H(s)X(s)$
4. Calcul de la transformée de Laplace inverse de la sortie: $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}[Y(s)]$.

INFO

Pour l'étape 4, nous utiliserons le plus souvent la table des transformée de Laplace. Pour obtenir une forme présente dans la table, il est classique de recourir à une décomposition en éléments simples.

Stabilité

Les pôles correspondent simplement aux racines de l'équation caractéristique du système. Du coup, un système est BIBO stable si et seulement si tous ses pôles possèdent une partie réelle négative c-à-d $\mathrm{\Re }e(p_n)<0$.

Lorsqu'un système est stable, sa réponse indicielle pour un échelon d'amplitude $E$ converge vers une valeur finie égale à

$$y(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=H(0)E$$

Valeur Finale

Lorsque l'entrée est un échelon d'amplitude $E$, la transformée de Laplace de la sortie est égale à

$$Y(s)=H(s)X(s)=\frac{1}{s}H(s)E$$

En utilisant le théorème de la valeur finale, nous obtenons

Démonstration

$$y(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sY(s)=\underset{s\to 0}{lim}H(s)E=H(0)$$

Exemple

A titre d'illustration, nous allons déterminer la fonction de transfert d'un système de premier ordre modélisé par l'équation différentielle suivante:

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Kx(t)$$

où :

• $\tau$ est la constante de temps du système,
• $K$ est le gain statique du système.

Pour trouver la fonction de transfert, nous appliquons la transformée de Laplace aux deux côtés de l'équation en supposant des conditions initiales nulles (c'est-à-dire $y(0)=0$) :

$$\tau \mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt}\right\}+\mathcal{L}\{y(t)\}=K\mathcal{L}\{x(t)\}$$

En utilisant la propriété de la transformée de Laplace de la dérivée, nous avons :

$$sY(s)+Y(s)=KX(s)$$

Nous pouvons maintenant isoler $Y(s)$ en factorisant :

$$(\tau s+1)Y(s)=KX(s)$$

La fonction de transfert $H(s)$, définie comme le rapport de la transformée de Laplace de la sortie $Y(s)$ sur la transformée de Laplace de l'entrée $X(s)$, est alors égale à:

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K}{\tau s+1}$$

Cette fonction de transfert ne possède pas de zéros et possède un unique pôle en $\tau s+1=0$ c-à-d $s=-\frac{1}{\tau }$.

• Stabilité: Cette fonction de transfert est stable car son unique pôle $s=-\frac{1}{\tau }$ est réel et négatif.
• Valeur finale: Lorsque l'entrée du système est un échelon d'amplitude $E$, la valeur finale est égale à $y(\mathrm{\infty })=H(0)E=KE$.

Réponse Fréquentielle

Comme évoqué dans le chapitre précédent, lorsque l'entrée du système est une exponentielle complexe de pulsation ${\omega }_0$, c-à-d $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$, la sortie est également une exponentielle complexe de même pulsation, multipliée par un gain complexe qui dépend de ${\omega }_0$ :

$$y(t)=H(j{\omega }_0)e^{j{\omega }_{0}t}$$

Pour un système causal ($h(t)=0$ pour $t<0$), ce gain complexe est égal à

$$H(j{\omega }_0)={H(s)|}_{s=j{\omega }_0}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(t)e^{-j{\omega }_{0}t}dt$$

INFO

En d'autre terme, il suffit de poser $s=j{\omega }_0$ pour obtenir la réponse fréquentielle à partir de la fonction de transfert.

La réponse fréquentielle est généralement un complexe. Il est courant d'en extraire son module $|H(j\omega )|$ et son argument $\arg [H(j\omega )]$.

Exemple

A titre d'illustration, nous allons déterminer la réponse fréquentielle d'un système de premier ordre modélisé par la fonction de transfert suivante:

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K}{\tau s+1}$$

En posant $s=j\omega$, la réponse fréquentielle devient :

$$H(j\omega )=\frac{K}{1+j\omega \tau }$$

• Module: Le module de $H(j\omega )$ est donné par :

$$|H(j\omega )|=\frac{K}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}}$$

• Argument: L'argument de $H(j\omega )$ est donné par :

$$\arg [H(j\omega )]=-\arctan (\omega \tau )$$

Ce système agit comme un filtre passe-bas, atténuant les hautes fréquences ($|H(j\omega )|\to 0$ lorsque $\omega \to \mathrm{\infty }$) et introduisant un déphasage croissant ($\arg [H(j\omega )]\to -\pi /2$).

Représentation

Pour analyser et visualiser la réponse fréquentielle d'un système, plusieurs représentations graphiques sont couramment utilisées :

1. Diagramme de Bode :
   • Amplitude : Le module $|H(j\omega )|$ est exprimé en décibels ($20{\log }_{10}|H(j\omega )|$) en fonction de la fréquence $\omega$ (généralement en échelle logarithmique).
   • Phase : L'argument $\arg [H(j\omega )]$ est tracé en degrés ou radians en fonction de $\omega$.
   • Utilité : Utilisé en électronique et en automatique pour évaluer la stabilité et la bande passante.

Diagramme de Bode

2. Diagramme de Black-Nichols :
   • Représentation : Combine le gain (en dB) et la phase sur le même graphique (gain sur l’axe vertical, phase sur l’axe horizontal).
   • Utilité : Particulièrement utilisé dans la conception de correcteurs

Diagramme de Black-Nichols

3. Diagramme de Nyquist :
   • Représentation : La réponse fréquentielle $H(j\omega )$ est représentée dans le plan complexe (partie réelle en abscisse, partie imaginaire en ordonnée).
   • Utilité : Fournit une vue directe du comportement fréquentiel du système et de ses caractéristiques de stabilité.

Diagramme de Nyquist

Interconnexion des SLITs

Les SLITs peuvent être interconnectés de différentes manières pour former des systèmes plus complexes. Les configurations les plus courantes incluent la mise en série, la mise en parallèle et les boucles de rétroaction. La transformée de Laplace et les fonctions de transfert facilitent grandement l'analyse de ces interconnexions.

1. Mise en Série (Cascade)

Mise en série de 2 systèmes

Lorsque deux systèmes sont mis en série, la sortie du premier système devient l'entrée du second. Si $H_1(s)$ et $H_2(s)$ sont les fonctions de transfert des deux systèmes, alors la fonction de transfert globale $H(s)$ est donnée par le produit des fonctions de transfert individuelles :

$$H(s)=H_1(s)H_2(s)$$

Exemple

Si $H_1(s)=\frac{1}{s+1}$ et $H_2(s)=\frac{1}{s+2}$, alors :

$$H(s)=\frac{1}{s+1}\cdot \frac{1}{s+2}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$$

2. Mise en Parallèle

Mise en parallèle de 2 systèmes

Lorsque deux systèmes sont mis en parallèle, les entrées des deux systèmes sont les mêmes et les sorties sont additionnées. Si $H_1(s)$ et $H_2(s)$ sont les fonctions de transfert des deux systèmes, alors la fonction de transfert globale $H(s)$ est donnée par la somme des fonctions de transfert individuelles :

$$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$$

Exemple

Si $H_1(s)=\frac{1}{s+1}$ et $H_2(s)=\frac{2}{s+3}$, alors :

$$H(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s+3}$$

3. Boucle de Rétroaction

Système avec une boucle de rétroaction

Un système en boucle de rétroaction combine une partie de la sortie avec l'entrée. La fonction de transfert globale d'un système composé d'une chaîne directe $H_1(s)$ et d'une boucle de rétroaction négative avec une chaîne de retour $H_2(s)$ est donnée par :

$$H(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}$$

Exemple

Si $H_1(s)=\frac{1}{s+1}$ et $H_2(s)=\frac{2}{s+3}$, alors :

$$H(s)=\frac{\frac{1}{s+1}}{1+\frac{1}{s+1}\cdot \frac{2}{s+3}}=\frac{(s+1)(s+3)}{(s+1)(s+3)+2}$$