Analyse des Systèmes de Second Ordre

Cette section traite les systèmes passe-bas du second ordre, décrits par une équation différentielle dépendant de la pulsation propre ${\omega }_n$ et du coefficient d’amortissement $\xi$. On distingue trois régimes (apériodique, critique, pseudo-périodique) en fonction de $\xi$, chacun ayant des pôles et une réponse indicielle caractéristiques (temps de réponse, dépassement, oscillations amorties). On introduit les notions de pseudo-période et de dépassement relatif. La réponse fréquentielle est ensuite étudiée, avec des formules explicites pour le module et la phase. Les représentations graphiques (Nyquist, Bode, Black-Nichols) permettent de caractériser la stabilité et la résonance des systèmes faiblement amortis.

Modélisation d'un système passe-bas (LP)

Equation Différentielle

Pour un système passe-bas d'ordre 2, le lien entre l'entrée et la sortie est donnée par l'équation différentielle suivante:

$$\frac{1}{{\omega }_n^2}\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+\frac{2\xi }{{\omega }_n}\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Kx(t)$$

• $K$ : gain statique,
• $\xi \ge 0$ : coefficient d'amortissement,
• ${\omega }_n$ : pulsation propre ou naturelle (en rad/s).

Notons que certains ouvrages préfèrent utiliser, au lieu du paramètre $\xi$, le facteur de qualité $Q=\frac{1}{2\xi }$.

Fonction de Transfert

La fonction de transfert d'un système passe-bas de second ordre est donnée par :

$$H(s)=\frac{K}{\frac{1}{{\omega }_n^2}{s}^2+\frac{2\xi }{{\omega }_n}s+1}$$

Pôles et Zéro

Les pôles $p_1$ et $p_2$ correspondent donc aux racines du polynôme $\frac{1}{{\omega }_n^2}{p}^2+\frac{2\xi }{{\omega }_n}p+1$. Le discriminant du polynôme est égal à $\mathrm{\Delta }=\frac{4{\xi }^2}{{\omega }_n^2}-\frac{4}{{\omega }_n^2}=\frac{2}{{\omega }_n}\sqrt{{\xi }^2-1}$. Nous pouvons alors distinguer trois cas de figure.

• Régime apériodique ($\xi >1$): Lorsque $\xi >1$, le système présente deux pôles réels d'expression :

$$p_{1,2}=-{\omega }_n(\xi \pm \sqrt{{\xi }^2-1})$$

• Regime critique ($\xi =1$): Lorsque $\xi =1$, le système présente un pôle réel double

$$p_{1,2}=-{\omega }_n$$

• Régime pseudo-périodique ($0<\xi <1$): Lorsque $0<\xi <1$, le système présente une paire de pôles complexes-conjugués

$$p_{1,2}=-{\omega }_n(\xi \pm j\sqrt{1-{\xi }^2})$$

Identification lorsque $0<\xi <1$

Lorsque $0<\xi <1$, il est possible d'identifier rapidement la pulsation propre et le coefficient d'amortissement à partir des pôles en exploitant le fait que ${\omega }_n=|p_{1,2}|$ et que $\xi =-\mathrm{\Re }e(p_{1,2})/|p_{1,2}|$.

Exemple

La figure suivante présente le diagrammes des pôles et des zéros pour 3 systèmes de second ordre avec des coefficients d'amortissement différents.

Diagramme des pôles et zéros d'un système de second ordre

Lorsque $\xi >1$, les pôles (représentés en vert) sont réels négatifs. Lorsque $\xi =1$, les pôles (représentés en orange) sont égaux et sont réels.

Réponse Indicielle

L'allure de la réponse indicielle est dictée par la géométrie des pôles. Nous obtenons 3 cas de figures.

Regime Apériodique ($\xi >1$)

Lorsque $\xi >1$, la réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=KE(1+\frac{1}{{\tau }_1-{\tau }_2}(-{\tau }_1{e}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}+{\tau }_2{e}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}))u(t)$$

avec ${\tau }_1=-\frac{1}{p_1}$ et ${\tau }_2=-\frac{1}{p_2}$.

Démonstration

Dans le domaine de Laplace, la sortie s'exprime sous la forme :

$$Y(s)=H(s)X(s)=\frac{KE}{s(\frac{1}{{\omega }_n^2}{s}^2+\frac{2\xi }{{\omega }_n}s+1)}=\frac{KE{\omega }_n^2}{s(1+{\tau }_{1}s)(1+{\tau }_{2}s)}$$

avec ${\tau }_1=-\frac{1}{p_1}$ et ${\tau }_2=-\frac{1}{p_2}$

En utilisant une décomposition en éléments simples, nous obtenons :

$$Y(s)=\frac{c_0}{s}+\frac{c_1}{s+\frac{1}{{\tau }_1}}+\frac{c_2}{s+\frac{1}{{\tau }_2}}$$

avec :

• $c_0={sY(s)|}_{s=0}=KE$
• $c_1={(s+\frac{1}{{\tau }_1})Y(s)|}_{s=-\frac{1}{{\tau }_1}}=-\frac{KE{\tau }_1}{{\tau }_1-{\tau }_2}$
• $c_2={(s+\frac{1}{{\tau }_2})Y(s)|}_{s=-\frac{1}{{\tau }_2}}=\frac{KE{\tau }_2}{{\tau }_1-{\tau }_2}$

En utilisant la transformée de Laplace inverse, nous obtenons alors :

$$y(t)=KE(1+\frac{1}{{\tau }_1-{\tau }_2}(-{\tau }_1{e}^{-\frac{t}{{\tau }_1}}+{\tau }_2{e}^{-\frac{t}{{\tau }_2}}))u(t)$$

Il est possible de démontrer les propriétés suivantes:

• Valeur initiale : $y(0)=0$,
• Valeur finale : $y(\mathrm{\infty })=KE$,
• Temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$ : Pas de formule simple, utilisation des abaques.
• Pas de dépassement : $y(\mathrm{\infty })=max(y(t))=KE$.

Pôle dominant

Si ${\tau }_2\gg {\tau }_1$, alors la réponse indicielle est quasi-identique à celle d'un premier ordre de constante de temps ${\tau }_2$ c-à-d $y(t)\approx KE(1-e^{-\frac{t}{{\tau }_2}})u(t)$.

Exemple

Réponse indicielle d'un système de second ordre

La figure ci-dessus présente la réponse indicielle ($E=1$) d'un système de second ordre avec $K=10$, $\xi =2$ et ${\omega }_n=100$ rad/s. Ce système présente deux pôles en $p_1=-373.205$ et $p_2=-26.79$ (pôle dominant). Le système présente deux constantes de temps égales à ${\tau }_1=0.0026$s et ${\tau }_2=0.0373$s. Le temps de réponse du système peut être approché par $t_r=3\tau =0.111$s.

Régime Critique ($\xi =1$)

Lorsque $\xi =1$ (régime critique), les pôles du système de second ordre sont égaux et s’écrivent $p_1=p_2=-{\omega }_n$. Dans ce cas, la réponse indicielle s’exprime sous la forme :

$$y(t)=KE(1-(1+\frac{t}{\tau })e^{-\frac{t}{\tau }})u(t)$$

avec $\tau =\frac{1}{{\omega }_n}$.

Démonstration

Dans le domaine de Laplace, la sortie s’exprime sous la forme :

$$Y(s)=H(s)X(s)=\frac{KE}{s(\frac{1}{{\omega }_n^2}{s}^2+\frac{2}{{\omega }_n}s+1)}=\frac{KE}{s(\tau s-1{)}^2}$$

avec $\tau =\frac{1}{{\omega }_n}$

La fonction $Y(s)$ peut être décomposée en éléments simples :

$$Y(s)=\frac{c_0}{s}+\frac{c_1}{s+\frac{1}{\tau }}+\frac{c_2}{(s+\frac{1}{\tau }{)}^2}$$

avec :

• $c_0=KE$,
• $c_1=-1$,
• $c_2=-\frac{KE}{\tau }$.

En utilisant la transformée de Laplace inverse, nous trouvons :

$$y(t)=KE(1-(1+\frac{1}{\tau }t)e^{-\frac{t}{\tau }})u(t)$$

Il est possible de démontrer les propriétés suivantes:

• Valeur initiale : $y(0)=0$,
• Valeur finale : $y(\mathrm{\infty })=KE$,
• Temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$ : utilisation des abaques. Pour $\xi =1$, ${\omega }_n{t}_r\approx 4.8$.
• Pas de dépassement : $y(\mathrm{\infty })=max(y(t))=KE$.

Exemple

Réponse indicielle d'un système de second ordre

La figure ci-dessous présente la réponse indicielle ($E=1$) d'un système de second ordre avec $K=10$, $\xi =1$ et ${\omega }_n=100$ rad/s. Ce système présente un pôle double en $p_1=p_2=-100$. Le temps de réponse est approximativement égal à $t_r=4.8/100=0.048$s.

Regime Pseudo-Périodique ($0<\xi <1$)

La réponse indicielle s'exprime sous la forme :

$$y(t)=KE(1-e^{-\xi {\omega }_{n}t}(\cos \left({\omega }_{p}t\right)+\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\sin \left({\omega }_{p}t\right)))u(t)$$

où ${\omega }_p={\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$ correspond à la pseudo-pulsation.

Démonstration

Dans le domaine de Laplace, la sortie s’exprime sous la forme :

$$Y(s)=H(s)X(s)=\frac{KE}{s(\frac{1}{{\omega }_n^2}{s}^2+\frac{2\xi }{{\omega }_n}s+1)}=\frac{KE{\omega }_n^2}{s(s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}$$

Lorsque $0<\xi <1$, il est possible d'écrire $Y(s)$ sous la forme :

$$Y(s)=\frac{KE{\omega }_n^2}{s((s+{\omega }_n\xi {)}^2+{\omega }_n^2(1-{\xi }^2))}$$

En posant ${\omega }_p^2={\omega }_n^2(1-{\xi }^2)$ et $a={\omega }_n\xi$, il est possible de décomposer cette transformée de Laplace sous la forme :

$$Y(s)=\frac{c_0}{s}+\frac{c_1(s+a)}{(s+a{)}^2+{\omega }_p^2}+\frac{c_2{\omega }_p}{(s+a{)}^2+{\omega }_p^2}$$

Par identification, nous obtenons :

$$KE{\omega }_n^2=c_0(s^2+2as+{\omega }_n^2)+c_{1}s(s+a)+c_2{\omega }_{p}s$$

En identifiant par rapport aux différentes puissances de $s$, nous obtenons le système :

$$\begin{array}{rl}KE{\omega }_n^2& =c_0{\omega }_n^2\\ 0& =2a{c}_0+a{c}_1+c_2{\omega }_p\\ 0& =c_0+c_1\end{array}$$

Après résolution du système, nous obtenons $c_0=KE$, $c_1=-KE$ et $c_2=-\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}KE$. En appliquant la transformée de Laplace inverse, nous obtenons :

$$y(t)=KE(1-e^{-\xi {\omega }_{n}t}(\cos \left({\omega }_{p}t\right)+\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\sin \left({\omega }_{p}t\right)))u(t)$$

Il est possible de démontrer les propriétés suivantes:

• Valeur initiale : $y(0)=0$,
• Valeur finale : $y(\mathrm{\infty })=KE$,
• Temps de réponse à $\pm 5\mathrm{\%}$ : Pas de formule simple, utilisation des abaques.
• Présence d'oscillations à la pseudo-pulsation (rad/s): ${\omega }_p={\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$
• Premier Dépassement relatif : $D_r(\mathrm{\%})=100\times e^{\frac{-\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}$, utilisation des abaques.

Pseudo-période

Lorsque $0<\xi <1$, la réponse indicielle est une sinusoïde amortie de pseudo-période :

$$T_p=\frac{2\pi }{{\omega }_p}=\frac{2\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}}$$

Exemple

Réponse indicielle d'un système de second ordre

La figure ci-dessus présente la réponse indicielle ($E=1$) d'un système de second ordre avec $K=10$, $\xi =0.1$ et ${\omega }_n=100$ rad/s. Ce système présente une paire de poles complexes-conjugués $p_{1,2}=p_2=-10.+99.498j$. La pseudo-pulsation est donnée par ${\omega }_p=99.498$ rad/s et la pseudo-période est égale à $T_p=0.0631$s. En utilisant les abaques, nous trouvons un temps de réponse $t_r=30/100=0.3$s et un premier dépassement relatif de $73\mathrm{\%}$.

Réponse Fréquentielle

Expression

La réponse fréquentielle d'un système passe-bas de second ordre est donnée par :

$$H(j\omega )=\frac{K}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}+j\frac{2\xi \omega }{{\omega }_n}}=\frac{K}{1-{\mathrm{\Omega }}^2+2j\xi \mathrm{\Omega }}$$

où $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_n}$ correspond à la pulsation réduite.

Partie Réelle et Partie Imaginaire

Pour un système passe-bas de second ordre, la partie réelle et imaginaire de la réponse fréquentielle s'expriment sous la forme suivante:

• Partie réelle:

$$\mathrm{\Re }e(H(j\omega ))=\frac{K(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}{{(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\xi }^2{\mathrm{\Omega }}^2}$$

• Partie imaginaire :

$$\mathrm{\Im }m(H(j\omega ))=-\frac{2K\xi \mathrm{\Omega }}{{(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\xi }^2{\mathrm{\Omega }}^2}$$

Module et Argument

Pour un système passe-bas de second ordre, le module et l'argument de la réponse fréquentielle s'expriment sous la forme:

• Module:

$$|H(j\omega )|=\frac{|K|}{\sqrt{{(1-{\mathrm{\Omega }}^2)}^2+4{\xi }^2{\mathrm{\Omega }}^2}}$$

• Argument :

$$\arg [H(j\omega )]=\arg [K]-\arctan \left(\frac{2\xi \omega }{1-{\mathrm{\Omega }}^2}\right)-\phi$$

où $\phi =0$ si $1-{\mathrm{\Omega }}^2>0$ et $\phi =\pi$ si $1-{\mathrm{\Omega }}^2<0$. Notons que lorsque $K>0$, $\arg [K]=0$.

Point Remarquable

A la pulsation $\omega ={\omega }_n$, le module et l'argument sont respectivement donnés par $|H(j\omega )|=\frac{|K|}{2\xi }$ et $\arg [H(j\omega )]=\arg [K]-\frac{\pi }{2}$.

Résonance

Lorsque $\xi <\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$, le module présente un extrémum en ${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\xi }^2}$, où ${\omega }_r$ désigne la pulsation de résonance. Cet extrémum est caractérisé par le facteur de résonance $M_{dB}=20{\log }_{10}(|H(j{\omega }_r)|/|K|)$. Les abaques de second ordre permettent d'obtenir $M_{dB}$ en fonction du coefficient d'amortissement $\xi$.

Diagramme de Nyquist

Diagramme de Nyquist d'un système de second ordre

La figure ci-dessus présente les diagrammes de Nyquist de plusieurs systèmes de second ordre avec $K=10$, ${\omega }_n=100$ et $\xi \in \{0.2,0.707,1,1.5\}$.

Diagramme de Bode

Représentation du module

Réponse fréquentielle d'un système de second ordre: Module

La figure ci-dessus présente le module du diagramme de Bode de plusieurs systèmes de second ordre avec $K=10$, ${\omega }_n=100$ et $\xi \in \{0.2,0.707,1,1.5\}$. Pour les 4 systèmes, le module à la pulsation ${\omega }_n$ est égal à $|H(j{\omega }_n){|}_{dB}=20-20{\log }_{10}(2\xi )$. Plus $\xi$ est petit, plus $|H(j{\omega }_n)|$ est élevé. Lorsque $\xi <0.707$, le module présente une résonance. Le seul système présentant une résonance est le système pour lequel $\xi =0.2$. Ce système présente une résonance à la pulsation ${\omega }_r=95.916$ rad/s (voir formule). Le facteur de résonance associé est égal à $M_{dB}=8.1$ dB (voir abaque).

Représentation de l'argument

Réponse fréquentielle d'un système de second ordre: Argument

La figure ci-dessus présente le module du diagramme de Bode de plusieurs systèmes de second ordre avec $K=10$, ${\omega }_n=100$ et $\xi \in \{0.2,0.707,1,1.5\}$. Pour les 4 systèmes, l'argument évolue de $0^o$ (pour $\omega =0$ rad/s) à $-{180}^o$ (pour $\omega \to \mathrm{\infty }$). En $\omega ={\omega }_n$ (rad/s), l'argument est égal à $\arg [H(j{\omega }_n)]=-{90}^o$ quelque soit la valeur de $\xi$. Notons que si $K<0$, la phase est simplement translatée de $180$ degrés.

Diagramme de Black-Nichols

Diagramme de Black Nichols d'un second ordre LP

La figure suivante présente les diagrammes de Black-Nichols de plusieurs systèmes passe-bas de second ordre avec $K=10$, ${\omega }_n=100$ et $\xi \in \{0.2,0.707,1,1.5\}$. Pour $K>0$, lorsque la pulsation $\omega$ évolue de $0$ à $\mathrm{\infty }$, la courbe se déplace du point $(20dB,0^{\circ })$ au point ($-\mathrm{\infty },-{180}^{\circ }$). Lorsque $\xi \ge 0.707$, la courbe est monotone. Pour $\xi =0.2$, la courbe présente un extrémum à la pulsation ${\omega }_r=95.916$ rad/s. Le facteur de résonance associé est égal à $M_{dB}=8.1$ dB (voir abaque). En $\omega ={\omega }_n$, la courbe passe par le point remarquable $(20-20{\log }_{10}(2\xi ),-{90}^{\circ })$ quelque soit la valeur de $\xi$.