Stabilité des Systèmes en Boucle Fermée

Cette section introduit la notion de stabilité des systèmes en boucle fermée. Après avoir défini la stabilité BIBO et établi son lien avec la position des pôles dans le plan complexe, il montre comment vérifier la stabilité d’un système grâce au lieu de Black de la boucle ouverte. Le critère du revers est présenté comme outil graphique pour conclure sur la stabilité, complété par les notions de marges de gain et de phase permettant d’évaluer la robustesse du système.

Objectif

Dans ce chapitre, nous montrons comment analyser la stabilité d'un système en boucle fermée à partir du lieu de Black de la boucle ouverte.

Stabilité BIBO

Un système est dit BIBO stable si lorsque son entrée est bornée, sa sortie l'est également. Pour les systèmes continus, un système est BIBO stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable c-à-d :

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h(t)|dt<\mathrm{\infty }$$

Condition sur les pôles

La fonction de transfert d'un système d'ordre $n$ peut s'écrire sous la forme factorisée suivante :

$$H(s)=\frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}$$

où $z_1,z_2,\dots ,z_n$ sont les zéros du système, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ sont les pôles du système, et $K$ est un facteur de gain (potentiellement différent du gain statique $H(0)$).

Au niveau temporel, chaque pôle $p_k$ est associé soit :

• à une composante du type $e^{p_{k}t}u(t)$ pour les pôles réels $p_k$,
• à une composante du type $e^{\mathrm{\Re }e(p_k)t}\cos (\omega t+\phi )u(t)$ pour les pôles complexes-conjugués $p_k=\mathrm{\Re }e(p_k)\pm j\mathrm{\Im }m(p_k)$.

Nous constatons alors que, pour qu'un système soit stable, les arguments des termes exponentiels doivent être négatifs. Cette propriété permet de relier directement la notion de stabilité aux pôles du système

Stabilité

Un SLIT continu est BIBO stable si la partie réelle de tous ses pôles est négative c-à-d que pour tout $k$

$$\mathrm{\Re }e(p_k)<0$$

Exemples

Les figures suivantes présentent les diagrammes des pôles et des zéros de deux systèmes, ainsi que leur réponse indicielle (avec $E=1$).

Système Stable

Diagramme des Pôles et des Zéros: système stable

Dans la première figure, l'ensemble des pôles est situé sur le demi-plan gauche, c-à-d que tous les pôles ont une partie réelle négative. L'allure de la réponse indicielle permet de confirmer que le système est bien stable.

Système Instable

Diagramme des Pôles et des Zéros: système instable

Dans la seconde figure, un pôle possède une partie réelle positive ($p=0.5>0$). La figure de droite montre que la réponse indicielle diverge, confirmant l’instabilité

Cas de la Boucle fermée

Pour analyser la stabilité du système en boucle fermée $H(s)$ à partir du système en boucle ouverte $G(s)$, une approche simple est basée sur le diagramme de Black-Nichols du système en boucle ouverte.

Lieux de Black et critère du revers

Le diagramme de Black-Nichols du système en boucle ouverte $G(s)$ présente l'évolution du module en dB, $|G(j\omega ){|}_{dB}$, en fonction de l'argument en degré, $\arg [G(j\omega ){]}_{deg}$. Cette courbe est appelée lieu de Black. Dans ce graphique, le comportement du lieu de Black au voisinage du point $(-{180}^o,0dB)$ permet de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée.

Critère du revers

Pour qu’un système à retour unitaire soit stable en boucle fermée, le lieu de Black du système en boucle ouverte $G(s)$ doit laisser le point critique, de coordonnées $(-{180}^o,0dB)$, à sa droite lorsque $\omega$ varie de $0$ à $+\mathrm{\infty }$.

Exemples

Les figures suivantes présentent les lieux de Black de deux systèmes de 3ᵉ ordre, ainsi que leur réponse indicielle en boucle fermée (avec $E=1$).

Système stable en boucle fermée

Système stable en boucle fermée

La figure ci-dessus présente le lieu de Black d'un système en boucle ouverte $G(s)$. Lorsque l'on parcourt la courbe dans le sens des $\omega$ croissant, le lieux de Black se déplace de la droite vers la gauche. En parcourant la courbe dans le sens des $\omega$ croissant, le point critique de coordonnée $(-{180}^o,0dB)$ est laissé sur la droite. L'application du critère du revers permet de conclure que le système est stable en boucle fermée. Dans la figure de droite, nous observons effectivement que la réponse indicielle du système en boucle fermée ne diverge pas.

Système instable en boucle fermée

Système stable en boucle fermée

La figure ci-dessus présente le lieu de Black d'un système en boucle ouverte $G(s)$. En parcourant la courbe dans le sens des $\omega$ croissant, le point critique est laissé sur la gauche. L'application du critère du revers permet donc de conclure que le système est instable en boucle fermée. Dans la figure de droite, nous observons effectivement que la réponse indicielle du système en boucle fermée diverge.

Marges de Gain et de Phase

Le critère de stabilité est un critère binaire (le système est stable ou non) et il est souvent préférable de recourir à des critères numériques pour caractériser la stabilité "relative" d'un système en boucle fermée, offrant ainsi une sécurité face aux erreurs de modélisation.

Pour caractériser la stabilité d'un système en boucle fermée, deux critères sont couramment utilisés :

• Marge de Phase $M_{\phi }$ : Distance en degrés par rapport au point critique lorsque $|G(j\omega ){|}_{dB}=0dB$.
• Marge de Gain $M_G$ : Distance en dB par rapport au point critique lorsque $\arg [G(j\omega ){]}_{deg}=-{180}^o$.

Lorsqu'un système est stable en boucle fermée, ces deux marges sont positives.

Exemple

Lieu de Black

À titre d'exemple, la figure ci-dessus présente le lieu de Black d'un système de 3ᵉ ordre. Ce système est stable en boucle fermée. Concernant les marges, nous obtenons une marge de Gain $M_G=12dB$ et une marge de phase de $M_{\phi }={67}^o$.

Correction

Pour gagner en stabilité en boucle fermée, une stratégie de correction possible consiste à "apporter" de la phase en boucle ouverte (translation du lieu de Black vers la droite).