Rappels d'Electronique

Objectif

Ces rappels présentent les bases de la mise en équation des circuits électroniques.

Dipôles de Base

Résistance

• Modèle : $u(t)=Ri(t)$
• Impedance généralisée : $Z_R=R$

Condensateur

• Modèle : $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$
• Impedance généralisée : $Z_C=\frac{1}{Cs}$

Bobine

• Modèle : $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$
• Impedance généralisée: $Z_L=Ls$

Associations de dipôles

Mise en série

• Impedance généralisée équivalente :

$$Z_{eq}=Z_1+Z_2$$

Mise en parallèle

• Impedance généralisée équivalente :

$$\frac{1}{Z_{eq}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}$$

Pont diviseur

• Mise en équation :

$$\frac{V_2(s)}{V_1(s)}=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$$

Potentiel des noeuds

• Mise en équation :

$$\frac{V_1(s)-V_A(s)}{Z_1}+\frac{V_2(s)-V_A(s)}{Z_2}+\frac{V_3(s)-V_A(s)}{Z_3}=0$$

Exemples

Circuit 1

On considère le circuit suivant :

Mise en équation

Pour ce type de circuit, il est recommandé de déterminer l'impédance équivalente à la mise en parallèle des composants $C$, $L$ et $R_2$, puis d'utiliser la loi du pont diviseur de tension.

• Calcul de l'impédance équivalente :

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{Z_{eq}}& =\frac{1}{Z_C}+\frac{1}{Z_L}+\frac{1}{R_2}\\ & =Cs+\frac{1}{Ls}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_{2}CL{s}^2+R_2+Ls}{R_{2}Ls}\end{array}$$

• Application du pont diviseur :

$$\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{Z_{eq}}{Z_{eq}+Z_{R_1}}=\frac{Z_{eq}}{Z_{eq}+R_1}$$

Fonction de transfert

En manipulant la dernière équation, la fonction de transfert s'exprime sous la forme :

$$\begin{array}{rl}H(s)& =\frac{1}{1+\frac{R_1}{Z_{eq}}}\\ & =\frac{R_{2}Ls}{R_{2}Ls+R_1{R}_{2}CL{s}^2+R_1{R}_2+R_{1}Ls}\\ & =\frac{\frac{L}{R_1}s}{\frac{L}{R_1}s+CL{s}^2+1+\frac{L}{R_2}s}\\ & =\frac{\frac{L}{R_1}s}{CL{s}^2+(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})Ls+1}\\ & =\frac{\frac{L}{R_1}s}{CL{s}^2+\left(\frac{R_1+R_2}{R_1{R}_2}\right)Ls+1}\end{array}$$

Ce circuit correspond à un second ordre.

Circuit 2

On considère le circuit suivant :

Mise en équation

Notons $V$ la tension aux bornes de $R_2$.

• Equation 1 (loi des noeuds)

$$\frac{V_e(s)-V(s)}{R_1}+\frac{0-V(s)}{R_2}+\frac{V_s(s)-V(s)}{Z_{C2}}+\frac{V_{-}(s)-V(s)}{Z_{C1}}=0$$

• Equation 2 (loi des noeuds)

$$\frac{V(s)-V_{-}(s)}{Z_{C1}}+\frac{V_s(s)-V_{-}(s)}{R_3}=0$$

• Equation 3 (AOP régime linéaire)

$$V_{+}(s)=V_{-}(s)$$

• Equation 4 (entrée +):

$$V_{+}(s)=0$$

Fonction de transfert

Pour obtenir la fonction de transfert, nous allons déterminer une équation avec que des termes en $V_e(s)$ d'un côté et que des termes en $V_s(s)$ de l'autre côté.

En manipulant les 4 équations, nous obtenons :

$$\frac{V_e(s)}{R_1}=-\frac{V_s(s)}{Z_{C2}}+\frac{V(s)}{Z_{C2}}+\frac{V(s)}{R_2}+\frac{V(s)}{Z_{C1}}+\frac{V(s)}{R_1}$$$$V(s)=-\frac{Z_{C1}}{R_3}{V}_s(s)$$

Il en vient que

$$\frac{V_e(s)}{R_1}=-V_s(s)(\frac{1}{Z_{C2}}-\frac{Z_{C1}}{Z_{C2}{R}_3}-\frac{Z_{C1}}{R_2{R}_3}-\frac{1}{R_3}-\frac{Z_{C1}}{R_1{R}_3})$$

En remplaçant les impédances par leur expressions et en mettant tout sous le même dénominateur pour le terme de droite, nous obtenons

$$\frac{V_e(s)}{R_1}=-\frac{V_s(s)}{R_1{R}_2{R}_3{C}_{1}s}(R_1{R}_2{R}_3{C}_1{C}_2{s}^2+R_1{R}_2{C}_{2}s+R_1+R_1{R}_2{C}_{1}s+R_2)$$

Finalement,

$$H(s)=\frac{V_s(s)}{V_e(s)}=-\frac{\frac{R_2{R}_3}{R_1+R_2}{C}_{1}s}{\frac{R_1{R}_2{R}_3}{R_1+R_2}{C}_1{C}_2{s}^2+\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}(C_1+C_2)s+1}$$

Ce circuit correspond donc à un circuit de second ordre.