Transformée en Z

Cette section introduit la transformée en Z comme outil central pour simplifier l'analyse des systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT) à temps discret. Après la définition et les principales propriétés (linéarité, décalage temporel, convolution, théorèmes des valeurs initiale et finale), on présente les signaux usuels et leurs transformées. Ce chapitre constitue l'équivalent discret de la transformée de Laplace utilisée pour les systèmes à temps continu.

Définition

La transformée en Z est un outil mathématique fondamental pour l'analyse des systèmes à temps discret. Elle joue un rôle analogue à celui de la transformée de Laplace pour les systèmes à temps continu, permettant de convertir des équations de récurrence en équations algébriques.

La transformée en Z unilatérale d'une suite numérique $x[n]$ est définie par :

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$$

où $z$ est une variable complexe. Cette transformation convertit une séquence temporelle discrète en une fonction de la variable complexe $z$.

La transformée en Z d'un signal ne converge pas nécessairement pour tout $z$. Il est alors nécessaire de préciser la région de convergence (ROC) pour laquelle la série converge, c'est-à-dire les valeurs de $z$ telles que $|X(z)|<\mathrm{\infty }$.

Exemple

À titre d'exemple, nous allons déterminer la transformée en Z de l'échelon unité $u[n]$. Pour $n\ge 0$, $u[n]=1$, la transformée en Z est donc égale à :

$$X(z)=\mathcal{Z}\{u[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}1\cdot z^{-n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-n}$$

Cette série est une série géométrique de raison $z^{-1}$. Pour $|z^{-1}|<1$, c'est-à-dire $|z|>1$, la série converge et nous obtenons :

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$$

La transformée en Z de l'échelon unité est donc :

$$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\frac{z}{z-1},|z|>1$$

Propriétés

La transformée en Z possède plusieurs propriétés qui permettent de simplifier l'analyse des systèmes linéaires et invariants dans le temps.

1. Linéarité

La transformée en Z est une opération linéaire :

$$\mathcal{Z}\{\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\}=\alpha X_1(z)+\beta X_2(z)$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes, et $x_1[n]$ et $x_2[n]$ sont des suites.

Démonstration

Pour démontrer cette propriété, nous appliquons la définition de la transformée en Z :

$$\begin{array}{rl}\mathcal{Z}\{\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n])z^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha x_1[n]z^{-n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\beta x_2[n]z^{-n}\\ & =\alpha \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_2[n]z^{-n}\\ & =\alpha X_1(z)+\beta X_2(z)\end{array}$$

2. Décalage temporel (retard)

Si $y[n]=x[n-k]$ avec $k\in {\mathbb{N}}^{+}$, alors :

$$\mathcal{Z}\{x[n-k]\}=z^{-k}X(z)$$

Cette propriété est fondamentale pour l'analyse des systèmes discrets car elle permet de traiter les retards de manière algébrique.

Démonstration

En utilisant la définition de la transformée en Z et en posant $m=n-k$ :

$$\begin{array}{rl}\mathcal{Z}\{x[n-k]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\\ & =\sum _{m=-k}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-(m+k)}\\ & =z^{-k}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}\text{(en supposant }x[m]=0\text{ pour }m<0\text{)}\\ & =z^{-k}X(z)\end{array}$$

3. Avance temporelle

Si $y[n]=x[n+1]$, alors :

$$\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=zX(z)-zx[0]$$

Plus généralement, pour une avance de $k$ échantillons :

$$\mathcal{Z}\{x[n+k]\}=z^{k}X(z)-z^{k}x[0]-z^{k-1}x[1]-\cdots -zx[k-1]$$

Lorsque les conditions initiales sont nulles ($x[0]=x[1]=\cdots =x[k-1]=0$) :

$$\mathcal{Z}\{x[n+k]\}=z^{k}X(z)$$

4. Multiplication par une exponentielle

Si $y[n]=a^{n}x[n]$, alors :

$$\mathcal{Z}\{a^{n}x[n]\}=X(a^{-1}z)$$

Démonstration

$$\begin{array}{rl}\mathcal{Z}\{a^{n}x[n]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}x[n]z^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n](a^{-1}z{)}^{-n}\\ & =X(a^{-1}z)\end{array}$$

5. Convolution

Si $y[n]=x[n]\ast h[n]=\sum _{k=0}^{n}x[k]h[n-k]$, alors :

$$\mathcal{Z}\{x[n]\ast h[n]\}=X(z)H(z)$$

Cette propriété est fondamentale : la convolution dans le domaine temporel devient un simple produit dans le domaine en Z.

6. Théorème de la valeur initiale

Si la limite $\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}X(z)$ existe, alors :

$$x[0]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}X(z)$$

Démonstration

$$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}X(z)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}=x[0]+\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}=x[0]$$

car tous les termes avec $n\ge 1$ tendent vers 0 quand $z\to \mathrm{\infty }$.

7. Théorème de la valeur finale

Si tous les pôles de $(z-1)X(z)$ sont à l'intérieur du cercle unité (système stable), alors :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}x[n]=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)X(z)$$

Signaux Usuels

La figure suivante illustre les trois signaux discrets usuels : l'impulsion unité, l'échelon unité et la rampe unité.

Signaux discrets usuels

Impulsion unité (delta de Kronecker)

Définition :

$$\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$$

Transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\{\delta [n]\}=1$$

Démonstration

$$\mathcal{Z}\{\delta [n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\delta [n]z^{-n}=\delta [0]z^0=1$$

Échelon unité

Définition :

$$u[n]=\{\begin{array}{cc}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$$

Transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\frac{z}{z-1},|z|>1$$

Rampe unité

Définition :

$$r[n]=n\cdot u[n]=\{\begin{array}{cc}n,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$$

Transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\{n\cdot u[n]\}=\frac{z}{(z-1{)}^2},|z|>1$$

Exponentielle discrète

Définition :

$$x[n]=a^{n}u[n]$$

Transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-a},|z|>|a|$$

La figure suivante illustre le comportement de l'exponentielle discrète $a^n$ pour différentes valeurs de $a$. La convergence ou divergence du signal dépend de la valeur de $|a|$ par rapport à 1.

Exponentielles discrètes pour différentes valeurs de a

Démonstration

$$\begin{array}{rl}\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^n{z}^{-n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a}{z}\right)}^n\end{array}$$

Cette série géométrique converge pour $|a/z|<1$, c'est-à-dire $|z|>|a|$, et donne :

$$\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\frac{1}{1-a/z}=\frac{z}{z-a}$$

Table des transformées en Z usuelles

Signal $x[n]$	Transformée $X(z)$	ROC
$\delta [n]$	$1$	Tout $z$
$u[n]$	$\frac{z}{z-1}$	$|z|>1$
$n\cdot u[n]$	$\frac{z}{(z-1{)}^2}$	$|z|>1$
$a^{n}u[n]$	$\frac{z}{z-a}$	$|z|>|a|$
$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{az}{(z-a{)}^2}$	$|z|>|a|$
$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z(z-\cos {\omega }_0)}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1}$	$|z|>1$
$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z\sin {\omega }_0}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1}$	$|z|>1$