Numérisation des Correcteurs

Ce chapitre présente les techniques de numérisation permettant de convertir un correcteur analogique $C(s)$ en correcteur numérique $C(z)$.

Principe

La numérisation consiste à trouver une fonction de transfert discrète $C(z)$ qui approxime le comportement du correcteur continu $C(s)$. Cette conversion repose sur une substitution de la variable $s$ par une expression en $z$.

Les différentes méthodes de numérisation se distinguent par leur façon d'approximer la dérivée à partir des échantillons discrets :

Illustration des différentes approximations de la dérivée

Méthodes de numérisation

Méthode d'Euler avant (Forward Euler)

Cette méthode approxime la dérivée par une différence avant :

$$\frac{dx}{dt}\approx \frac{x[n+1]-x[n]}{T_e}$$

La substitution correspondante est :

$$s\leftarrow \frac{z-1}{T_e}$$

Démonstration

Partant de $sX(s)=\mathcal{L}\left\{\frac{dx}{dt}\right\}$, on approxime la dérivée par :

$$\frac{dx}{dt}\approx \frac{x((n+1)T_e)-x(n{T}_e)}{T_e}=\frac{x[n+1]-x[n]}{T_e}$$

En appliquant la transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\left\{\frac{x[n+1]-x[n]}{T_e}\right\}=\frac{zX(z)-X(z)}{T_e}=\frac{z-1}{T_e}X(z)$$

D'où la correspondance $s\leftrightarrow \frac{z-1}{T_e}$.

Stabilité

Cette méthode ne préserve pas la stabilité. Un système continu stable peut devenir instable après numérisation par Euler avant.

Méthode d'Euler arrière (Backward Euler)

Cette méthode approxime la dérivée par une différence arrière :

$$\frac{dx}{dt}\approx \frac{x[n]-x[n-1]}{T_e}$$

La substitution correspondante est :

$$s\leftarrow \frac{z-1}{T_{e}z}$$

Démonstration

En approximant la dérivée par :

$$\frac{dx}{dt}\approx \frac{x(n{T}_e)-x((n-1)T_e)}{T_e}=\frac{x[n]-x[n-1]}{T_e}$$

En appliquant la transformée en Z :

$$\mathcal{Z}\left\{\frac{x[n]-x[n-1]}{T_e}\right\}=\frac{X(z)-z^{-1}X(z)}{T_e}=\frac{1-z^{-1}}{T_e}X(z)=\frac{z-1}{T_{e}z}X(z)$$

D'où la correspondance $s\leftrightarrow \frac{z-1}{T_{e}z}$.

Stabilité

Cette méthode préserve la stabilité. Un système continu stable reste stable après numérisation.

Méthode de Tustin (Bilinéaire)

La méthode de Tustin est la plus utilisée en pratique. Elle repose sur l'approximation trapézoïdale de l'intégrale :

$$s\leftarrow \frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$$

Démonstration

L'intégration numérique par la méthode des trapèzes donne :

$$y[n]=y[n-1]+\frac{T_e}{2}(x[n]+x[n-1])$$

En appliquant la transformée en Z :

$$Y(z)=z^{-1}Y(z)+\frac{T_e}{2}(X(z)+z^{-1}X(z))$$$$Y(z)(1-z^{-1})=\frac{T_e}{2}X(z)(1+z^{-1})$$$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T_e}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}=\frac{T_e}{2}\frac{z+1}{z-1}$$

Comme l'intégrateur continu a pour fonction de transfert $\frac{1}{s}$, on a la correspondance :

$$\frac{1}{s}\leftrightarrow \frac{T_e}{2}\frac{z+1}{z-1}\Rightarrow s\leftrightarrow \frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$$

Avantages de Tustin

• Préserve la stabilité : un pôle stable en $s$ donne un pôle stable en $z$
• Bonne approximation fréquentielle pour les basses fréquences
• Méthode standard en automatique numérique

Correspondance des pôles

La relation entre un pôle continu $s_k$ et le pôle discret correspondant $z_k$ dépend de la méthode utilisée :

Méthode	Substitution	Correspondance des pôles
Euler avant	$s=\frac{z-1}{T_e}$	$z_k=1+s_k{T}_e$
Euler arrière	$s=\frac{z-1}{T_{e}z}$	$z_k=\frac{1}{1-s_k{T}_e}$
Tustin	$s=\frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$	$z_k=\frac{1+s_k{T}_e/2}{1-s_k{T}_e/2}$
Exacte (BOZ)	-	$z_k=e^{s_k{T}_e}$

Exemple : Numérisation d'un intégrateur

Soit l'intégrateur $C(s)=\frac{K}{s}$.

Méthode d'Euler avant :

$$C(z)=\frac{K}{\frac{z-1}{T_e}}=\frac{K{T}_e}{z-1}$$

Méthode d'Euler arrière :

$$C(z)=\frac{K}{\frac{z-1}{T_{e}z}}=\frac{K{T}_{e}z}{z-1}$$

Méthode de Tustin :

$$C(z)=\frac{K}{\frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}}=\frac{K{T}_e}{2}\frac{z+1}{z-1}$$

Comparaison des réponses indicielles pour différentes méthodes de numérisation d'un intégrateur

Exemple : Numérisation d'un premier ordre

Soit le correcteur de premier ordre $C(s)=\frac{K}{1+\tau s}$.

Méthode de Tustin :

En substituant $s=\frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$ :

$$C(z)=\frac{K}{1+\tau \frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}}=\frac{K(z+1)}{(z+1)+\frac{2\tau }{T_e}(z-1)}$$

En posant $\alpha =\frac{2\tau }{T_e}$ :

$$C(z)=\frac{K(z+1)}{(1+\alpha )z+(1-\alpha )}=\frac{K}{1+\alpha }\frac{z+1}{z-\frac{\alpha -1}{\alpha +1}}$$

Le pôle discret est $a=\frac{\alpha -1}{\alpha +1}=\frac{2\tau -T_e}{2\tau +T_e}$.

Choix de la méthode

Critère	Euler avant	Euler arrière	Tustin
Stabilité	Non garantie	Garantie	Garantie
Précision BF	Moyenne	Moyenne	Bonne
Complexité	Faible	Faible	Moyenne
Usage	Déconseillé	Acceptable	Recommandé

Recommandation

En pratique, la méthode de Tustin est recommandée pour la numérisation des correcteurs. Elle offre le meilleur compromis entre précision et préservation de la stabilité.