Modélisation CNA/CAN

Ce chapitre présente la modélisation de la chaîne de conversion numérique-analogique (CNA) et analogique-numérique (CAN) avec bloqueur d'ordre zéro (BOZ).

Chaîne de conversion

Schéma général

Dans un système de commande numérique, le signal discret $x[n]$ est converti en signal analogique par un CNA (Convertisseur Numérique-Analogique), puis traverse le système continu $H_c(s)$. La sortie analogique est ensuite reconvertie en signal discret $y[n]$ par un CAN (Convertisseur Analogique-Numérique).

Chaîne de conversion : CNA → BOZ → Système continu → CAN

Le CNA est généralement associé à un Bloqueur d'Ordre Zéro (BOZ) qui maintient la valeur du signal constante entre deux instants d'échantillonnage.

Modèle équivalent

L'ensemble de cette chaîne peut être modélisé par une fonction de transfert discrète équivalente $H(z)$ :

Modèle équivalent discret

Bloqueur d'ordre 0 (BOZ)

Le BOZ "bloque" la valeur du signal entre deux instants d'échantillonnage. Il maintient constante la valeur de sortie pendant toute la période $T_e$ jusqu'à l'arrivée du prochain échantillon.

Principe du Bloqueur d'Ordre Zéro : le signal est maintenu constant entre deux échantillons

Fonction de transfert

La fonction de transfert du BOZ dans le domaine de Laplace est :

$$B_0(s)=\frac{1-e^{-s{T}_e}}{s}$$

Démonstration

Le BOZ maintient la valeur d'entrée constante pendant une durée $T_e$. Sa réponse impulsionnelle est donc une impulsion rectangulaire de durée $T_e$ et d'amplitude 1 :

$$b_0(t)=u(t)-u(t-T_e)$$

où $u(t)$ désigne l'échelon unité (fonction de Heaviside).

En appliquant la transformée de Laplace :

$$B_0(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}-\mathcal{L}\{u(t-T_e)\}$$

En utilisant $\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$ et le théorème du retard $\mathcal{L}\{f(t-T_e)\}=e^{-s{T}_e}\mathcal{L}\{f(t)\}$ :

$$B_0(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-s{T}_e}}{s}=\frac{1-e^{-s{T}_e}}{s}$$

Fonction de transfert échantillonnée

Soit $H_c(s)$ la fonction de transfert d'un système continu. La fonction de transfert discrète équivalente $H(z)$, obtenue en tenant compte du BOZ, est donnée par la formule fondamentale.

Formule fondamentale

$$H(z)=\frac{z-1}{z}\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]$$

Démonstration

Considérons un système continu $H_c(s)$ précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ). La fonction de transfert globale du système continu avec le BOZ est :

$$G(s)=B_0(s)\cdot H_c(s)=\frac{1-e^{-s{T}_e}}{s}\cdot H_c(s)$$

Pour obtenir la fonction de transfert discrète équivalente, nous devons calculer la transformée en Z de la réponse impulsionnelle échantillonnée. Pour un système continu de fonction de transfert $G(s)$, la transformée en Z de la sortie échantillonnée à partir d'une entrée échantillonnée est donnée par :

$$H(z)=\mathcal{Z}[G(s)]=\mathcal{Z}[\frac{1-e^{-s{T}_e}}{s}{H}_c(s)]$$

En utilisant la propriété de linéarité de la transformée en Z :

$$H(z)=\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]-\mathcal{Z}\left[\frac{e^{-s{T}_e}{H}_c(s)}{s}\right]$$

Le terme $e^{-s{T}_e}$ représente un retard de $T_e$ secondes dans le domaine de Laplace. Dans le domaine de la transformée en Z, un retard d'une période d'échantillonnage correspond à une multiplication par $z^{-1}$. Ainsi :

$$\mathcal{Z}\left[\frac{e^{-s{T}_e}{H}_c(s)}{s}\right]=z^{-1}\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]$$

En substituant dans l'expression de $H(z)$ :

$$H(z)=\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]-z^{-1}\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]=(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]$$

En réécrivant $(1-z^{-1})=\frac{z-1}{z}$, nous obtenons la formule fondamentale :

$$H(z)=\frac{z-1}{z}\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]$$

Propriétés

• Conservation du gain statique : $H(z=1)=H_c(s=0)$
• Correspondance des pôles : un pôle continu $s_k$ devient un pôle discret $z_k=e^{s_k{T}_e}$

Exemple : Premier ordre

Pour un système continu de premier ordre $H_c(s)=\frac{K}{1+\tau s}$, la fonction de transfert discrétisée avec BOZ est :

$$H(z)=K\frac{1-e^{-T_e/\tau }}{z-e^{-T_e/\tau }}$$

Démonstration

On applique la formule fondamentale :

$$H(z)=\frac{z-1}{z}\mathcal{Z}\left[\frac{H_c(s)}{s}\right]=\frac{z-1}{z}\mathcal{Z}\left[\frac{K}{s(1+\tau s)}\right]$$

Décomposition en éléments simples de $\frac{K}{s(1+\tau s)}$ :

$$\frac{K}{s(1+\tau s)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{1+\tau s}$$

En multipliant par $s$ et posant $s=0$ : $A=K$

En multipliant par $(1+\tau s)$ et posant $s=-1/\tau$ : $B=\frac{K}{-1/\tau \cdot \tau }=-K\tau$

Donc :

$$\frac{K}{s(1+\tau s)}=\frac{K}{s}-\frac{K\tau }{1+\tau s}=\frac{K}{s}-\frac{K}{s+1/\tau }$$

En utilisant les transformées en Z usuelles ($\mathcal{Z}\left[\frac{1}{s}\right]=\frac{z}{z-1}$ et $\mathcal{Z}\left[\frac{1}{s+\alpha }\right]=\frac{z}{z-e^{-\alpha T_e}}$) :

$$\mathcal{Z}\left[\frac{K}{s(1+\tau s)}\right]=K\frac{z}{z-1}-K\frac{z}{z-e^{-T_e/\tau }}$$

En posant $a=e^{-T_e/\tau }$ et en multipliant par $\frac{z-1}{z}$ :

$$H(z)=\frac{z-1}{z}\cdot K\frac{z}{z-1}-\frac{z-1}{z}\cdot K\frac{z}{z-a}=K-K\frac{z-1}{z-a}$$

En réduisant au même dénominateur :

$$H(z)=\frac{K(z-a)-K(z-1)}{z-a}=\frac{Kz-Ka-Kz+K}{z-a}=K\frac{1-a}{z-a}$$

D'où :

$$H(z)=K\frac{1-e^{-T_e/\tau }}{z-e^{-T_e/\tau }}$$

On identifie :

• Le pôle discret : $a=e^{-T_e/\tau }$
• Le gain discret : $K_d=K(1-a)$

On peut vérifier la conservation du gain statique : $H(z=1)=K\frac{1-a}{1-a}=K=H_c(s=0)$.

Comparaison des réponses indicielles : système continu, échantillons discrets et reconstruction BOZ