Systèmes de Premier Ordre Discrets

Cette section présente l'analyse systématique des systèmes discrets de premier ordre. Après la modélisation (équation de récurrence, fonction de transfert, pôles/zéros), on étudie les réponses temporelles : impulsionnelle et indicielle. Les propriétés caractéristiques (temps de réponse, valeur finale) sont détaillées pour les cas d'un pôle positif et d'un pôle négatif.

Modélisation

Équation de récurrence

Un système discret de premier ordre est décrit par une équation de récurrence de la forme :

$$y[n]=a\cdot y[n-1]+b\cdot x[n]$$

où :

• $a$ : coefficient de rétroaction ($|a|<1$ pour la stabilité)
• $b$ : coefficient d'entrée
• $x[n]$ : signal d'entrée
• $y[n]$ : signal de sortie

Fonction de transfert

En appliquant la transformée en Z à l'équation de récurrence (avec conditions initiales nulles), on obtient :

$$Y(z)=a{z}^{-1}Y(z)+bX(z)$$

La fonction de transfert est donc :

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{b}{1-a{z}^{-1}}=\frac{bz}{z-a}$$

Forme canonique

La forme canonique d'un système de premier ordre discret est :

$$H(z)=K\frac{z}{z-a}$$

où $K=b$ est le gain et $a$ est le pôle du système.

Pôles et zéros

Un système de premier ordre discret possède :

• Un unique pôle en $z=a$
• Un zéro en $z=0$

Condition de stabilité : Le système est stable si et seulement si $|a|<1$, c'est-à-dire si le pôle est à l'intérieur du cercle unité.

Diagramme des pôles et zéros d'un système de premier ordre discret

Réponse temporelle

Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle $h[n]$ est la sortie du système lorsque l'entrée est une impulsion discrète $x[n]=E\cdot \delta [n]$.

Pour un système de premier ordre $H(z)=K\frac{z}{z-a}$, la réponse impulsionnelle est :

$$h[n]=K\cdot a^n\cdot u[n]$$

Démonstration

Dans le domaine en Z, la sortie est :

$$Y(z)=H(z)X(z)=K\frac{z}{z-a}\cdot E=KE\frac{z}{z-a}$$

En utilisant la transformée en Z inverse :

$${\mathcal{Z}}^{-1}\left[\frac{z}{z-a}\right]=a^{n}u[n]$$

On obtient :

$$y[n]=KE\cdot a^n\cdot u[n]$$

Pour $E=1$, on a bien $h[n]=K\cdot a^n\cdot u[n]$.

Cas d'un pôle positif ($0<a<1$)

Pour un pôle positif, la réponse impulsionnelle décroît de manière monotone vers zéro :

• Valeur initiale : $h[0]=K$
• Valeur finale : $h[\mathrm{\infty }]=0$
• Comportement : décroissance exponentielle discrète sans oscillation

Réponse impulsionnelle avec pôle positif ($a = 0.7$)

Cas d'un pôle négatif ($-1<a<0$)

Pour un pôle négatif, le terme $a^n$ alterne de signe à chaque échantillon, ce qui produit des oscillations amorties :

• Valeur initiale : $h[0]=K$
• Valeur finale : $h[\mathrm{\infty }]=0$
• Comportement : oscillations amorties autour de zéro

Réponse impulsionnelle avec pôle négatif ($a = -0.7$)

Réponse indicielle

La réponse indicielle est la sortie du système lorsque l'entrée est un échelon discret $x[n]=E\cdot u[n]$.

Pour un système de premier ordre, la réponse indicielle est :

$$y[n]=KE\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\cdot u[n]$$

Démonstration

Dans le domaine en Z, l'échelon s'écrit $X(z)=E\frac{z}{z-1}$. La sortie est donc :

$$Y(z)=H(z)X(z)=K\frac{z}{z-a}\cdot E\frac{z}{z-1}=KE\frac{z^2}{(z-a)(z-1)}$$

En effectuant une décomposition en éléments simples :

$$\frac{z^2}{(z-a)(z-1)}=\frac{c_{1}z}{z-1}+\frac{c_{2}z}{z-a}$$

En multipliant par $(z-1)$ et en posant $z=1$ :

$$c_1=\frac{1}{1-a}$$

En multipliant par $(z-a)$ et en posant $z=a$ :

$$c_2=\frac{a}{a-1}=-\frac{a}{1-a}$$

Donc :

$$Y(z)=KE(\frac{1}{1-a}\frac{z}{z-1}-\frac{a}{1-a}\frac{z}{z-a})$$

En utilisant les transformées inverses :

$$y[n]=KE(\frac{1}{1-a}-\frac{a}{1-a}{a}^n)u[n]=KE\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$$

Gain statique

Le gain statique du système discret est :

$$H(1)=K\frac{1}{1-a}$$

Ce qui correspond à la valeur finale de la réponse indicielle pour $E=1$.

Cas d'un pôle positif ($0<a<1$)

Pour un pôle positif, la réponse indicielle croît de manière monotone vers sa valeur finale :

• Valeur initiale : $y[0]=KE$
• Valeur finale : ${\displaystyle y[\mathrm{\infty }]=\frac{KE}{1-a}}$
• Comportement : croissance monotone, pas de dépassement

Réponse indicielle avec pôle positif ($a = 0.7$)

Cas d'un pôle négatif ($-1<a<0$)

Pour un pôle négatif, le terme $a^{n+1}$ alterne de signe, ce qui produit des oscillations amorties autour de la valeur finale :

• Valeur initiale : $y[0]=KE$
• Valeur finale : ${\displaystyle y[\mathrm{\infty }]=\frac{KE}{1-a}}$
• Comportement : oscillations amorties avec dépassement

Réponse indicielle avec pôle négatif ($a = -0.5$) : présence d'un dépassement

Temps de réponse

Le temps de réponse à 5% correspond au nombre d'échantillons $n_r$ nécessaire pour que la sortie atteigne 95% de sa valeur finale.

Démonstration

On cherche $n_r$ tel que :

$$\frac{y[n_r]}{y[\mathrm{\infty }]}=0.95$$

Pour la réponse indicielle :

$$\frac{1-a^{n_r+1}}{1}=0.95⟹a^{n_r+1}=0.05$$

En prenant le logarithme :

$$n_r+1=\frac{\ln (0.05)}{\ln (a)}\approx \frac{-3}{\ln (a)}$$