Échantillonnage

Ce chapitre présente les concepts fondamentaux de l'échantillonnage : le théorème de Shannon-Nyquist, le phénomène de repliement spectral (aliasing) et les stratégies pour l'éviter.

Principe de l'échantillonnage

Définition

L'échantillonnage consiste à prélever des valeurs d'un signal continu $x(t)$ à des instants réguliers espacés de $T_e$ (période d'échantillonnage). Le signal échantillonné est une suite de valeurs :

$$x[n]={x(t)|}_{n{T}_e}$$

Fréquence d'échantillonnage

La fréquence d'échantillonnage est définie par :

$$F_e=\frac{1}{T_e}$$

Exemple

La figure suivante illustre l'échantillonnage d'une sinusoïde de fréquence $f_0=5$ Hz avec une fréquence d'échantillonnage $F_e=40$ Hz.

Échantillonnage d'une sinusoïde : le signal continu (bleu) est prélevé à intervalles réguliers $T_e$

Théorème de Shannon-Nyquist

Théorème de Shannon

Un signal continu $x(t)$ à bande limitée (dont le spectre est nul pour $|f|>F_{max}$) peut être parfaitement reconstruit à partir de ses échantillons si et seulement si :

$$F_e>2F_{max}$$

La fréquence $F_N=\frac{F_e}{2}$ est appelée fréquence de Nyquist.

Repliement spectral (Aliasing)

Lorsque le théorème de Shannon n'est pas respecté ($F_e\le 2F_{max}$), les composantes haute fréquence sont "repliées" vers les basses fréquences. Une fréquence $f>F_e/2$ apparaît comme une fréquence plus basse :

$$f_{alias}=|f-k\cdot F_e|$$

où $k$ est l'entier qui ramène $f_{alias}$ dans l'intervalle $[0,F_e/2]$.

Illustration

La figure suivante montre un signal de fréquence $f_0=8$ Hz échantillonné à $F_e=10$ Hz. Comme $F_e<2f_0$, le théorème de Shannon n'est pas respecté.

Repliement spectral : un signal à 8 Hz échantillonné à 10 Hz apparaît comme un signal à 2 Hz

Les échantillons (points rouges) correspondent aussi bien au signal original à 8 Hz qu'au signal alias à 2 Hz. Il est donc impossible de distinguer ces deux signaux après échantillonnage.

Conséquences :

• Distorsion irréversible du signal
• Impossible de corriger après échantillonnage

Filtre anti-repliement

Pour éviter le repliement spectral, on place un filtre passe-bas analogique avant l'échantillonneur :

• Fréquence de coupure : $F_c\le F_e/2$
• Atténuation suffisante au-delà de $F_e/2$

Ce filtre supprime (ou atténue fortement) les composantes fréquentielles supérieures à la fréquence de Nyquist avant l'échantillonnage.

Principe du filtre anti-repliement : les composantes au-delà de $F_N$ sont atténuées avant l'échantillonnage

Choix de la fréquence d'échantillonnage

Pour le contrôle de systèmes :

$$T_e\in [\frac{\tau }{20},\frac{\tau }{5}]$$

où $\tau$ est la constante de temps dominante du système.