Correspondance Continu/Discret

Ce chapitre présente la correspondance entre le plan de Laplace (plan $s$) et le plan en $z$. Cette correspondance est fondamentale pour comprendre comment les propriétés d'un système continu se traduisent dans le domaine discret.

Relation fondamentale

Expression

La relation entre un pôle continu $s_k$ et le pôle discret correspondant $z_k$ est donnée par :

$$z_k=e^{s_k{T}_e}$$

où $T_e$ est la période d'échantillonnage.

Interprétation

En posant $s_k={\sigma }_k+j{\omega }_k$ où ${\sigma }_k$ est la partie réelle et ${\omega }_k$ la partie imaginaire, nous obtenons :

$$z_k=e^{({\sigma }_k+j{\omega }_k)T_e}=e^{{\sigma }_k{T}_e}\cdot e^{j{\omega }_k{T}_e}$$

Cette expression peut s'écrire sous forme polaire :

$$z_k=|z_k|\cdot e^{j{\theta }_k}$$

avec :

• Module : $|z_k|=e^{{\sigma }_k{T}_e}$
• Argument : ${\theta }_k={\omega }_k{T}_e$

Correspondance des régions de stabilité

Plan de Laplace (plan $s$)

Dans le plan $s$, un système continu est stable si tous ses pôles ont une partie réelle négative, c'est-à-dire s'ils sont situés dans le demi-plan gauche :

$$\mathrm{\Re }e(s_k)={\sigma }_k<0$$

Plan en $z$

Dans le plan $z$, un système discret est stable si tous ses pôles sont situés à l'intérieur du cercle unité :

$$|z_k|<1$$

Démonstration de la correspondance

Si ${\sigma }_k<0$ (pôle stable en continu), alors :

$$|z_k|=e^{{\sigma }_k{T}_e}<e^0=1$$

Le pôle discret est donc à l'intérieur du cercle unité.

Inversement, si ${\sigma }_k>0$ (pôle instable en continu), alors $|z_k|>1$ et le pôle discret est à l'extérieur du cercle unité.

Correspondance des régions

Plan $s$	Plan $z$	Stabilité
Demi-plan gauche ($\sigma <0$)	Intérieur du cercle unité ($|z|<1$)	Stable
Axe imaginaire ($\sigma =0$)	Cercle unité ($|z|=1$)	Marginalement stable
Demi-plan droit ($\sigma >0$)	Extérieur du cercle unité ($|z|>1$)	Instable

Correspondance des régions de stabilité entre le plan s et le plan z

Correspondance de l'axe des fréquences

Axe imaginaire du plan $s$

L'axe imaginaire du plan $s$ (où $\sigma =0$) correspond aux fréquences du système continu. Pour $s=j\omega$ :

$$z=e^{j\omega T_e}$$

Cette expression décrit le cercle unité dans le plan $z$.

Périodicité

La correspondance $z=e^{j\omega T_e}$ est périodique de période ${\omega }_e=\frac{2\pi }{T_e}$ (pulsation d'échantillonnage) :

$$e^{j(\omega +{\omega }_e)T_e}=e^{j\omega T_e}\cdot e^{j2\pi }=e^{j\omega T_e}$$

Cela signifie que toutes les fréquences séparées de ${\omega }_e$ sont confondues dans le plan $z$. C'est l'origine du repliement spectral.

Points remarquables

Pulsation continue $\omega$	Position sur le cercle unité
$\omega =0$ (DC)	$z=1$
$\omega =\frac{{\omega }_e}{4}$	$z=j$
$\omega =\frac{{\omega }_e}{2}$ (Nyquist)	$z=-1$
$\omega =\frac{3{\omega }_e}{4}$	$z=-j$
$\omega ={\omega }_e$	$z=1$ (retour au point de départ)

Correspondance de l'axe des fréquences : l'axe imaginaire du plan s s'enroule sur le cercle unité

Lignes iso-amortissement

Dans le plan $s$

Les lignes d'amortissement constant $\xi$ pour un système de second ordre correspondent à des droites passant par l'origine, faisant un angle $\beta =\arccos (\xi )$ avec l'axe réel négatif.

Pour un pôle sur cette ligne :

$$s=\sigma +j\omega =-\xi {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$$

Le rapport $\frac{\sigma }{\omega }$ est constant :

$$\frac{\sigma }{\omega }=\frac{-\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}$$

Dans le plan $z$

En appliquant la transformation $z=e^{s{T}_e}$, ces droites deviennent des spirales logarithmiques dans le plan $z$.

Transformation des lignes d'iso-amortissement du plan s vers le plan z

Lignes iso-pulsation propre

Dans le plan $s$

Les lignes de pulsation propre constante ${\omega }_n$ correspondent à des demi-cercles centrés à l'origine de rayon ${\omega }_n$ (dans le demi-plan gauche).

Dans le plan $z$

Ces demi-cercles se transforment en courbes fermées dans le plan $z$. Plus ${\omega }_n$ est grand par rapport à ${\omega }_e$, plus la courbe s'éloigne de l'origine.

Transformation des lignes d'iso-pulsation propre du plan s vers le plan z

Grille complète de correspondance

La figure suivante présente une vue d'ensemble de la correspondance entre le plan $s$ et le plan $z$, montrant simultanément les lignes d'iso-amortissement et d'iso-pulsation propre.

Grille complète de correspondance s → z

Implications pratiques

Choix de la période d'échantillonnage

La correspondance $z=e^{s{T}_e}$ montre que :

1. Si $T_e$ est trop grand : les pôles rapides (grande partie imaginaire) se retrouvent repliés, et la dynamique du système n'est pas correctement capturée.

2. Si $T_e$ est trop petit : les pôles discrets se rapprochent de $z=1$, ce qui peut poser des problèmes de précision numérique.

Règle pratique

Pour un système de constante de temps dominante $\tau$, on recommande :

$$T_e\in [\frac{\tau }{20},\frac{\tau }{5}]$$

Cela correspond à 5 à 20 échantillons par constante de temps.

Placement des pôles

Lors de la conception d'un correcteur numérique, il est souvent plus intuitif de :

1. Spécifier les performances souhaitées dans le plan $s$ (temps de réponse, dépassement)
2. Calculer les pôles continus correspondants
3. Transformer ces pôles en pôles discrets via $z=e^{s{T}_e}$

Formules utiles

Pour un système de second ordre avec $\xi$ et ${\omega }_n$ donnés, les pôles continus sont :

$$s_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$$

Les pôles discrets correspondants sont :

$$z_{1,2}=e^{-\xi {\omega }_n{T}_e}\cdot e^{\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}{T}_e}$$

En coordonnées polaires : $|z|=e^{-\xi {\omega }_n{T}_e}$ et $\theta =\pm {\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}{T}_e$